不可解無(wú)限集的例子
并非所有無(wú)限集都是相同的。區(qū)分這些集合的一種方法是詢問(wèn)集合是否可數(shù)無(wú)限。這樣，我們說(shuō)無(wú)限集合要么是可數(shù)的，要么是不可數(shù)的。我們將考慮無(wú)限集的幾個(gè)例子，并確定其中哪些是不可解釋的
可數(shù)無(wú)限
我們首先排除了無(wú)限集的幾個(gè)例子。我們會(huì)立即想到的許多無(wú)限集合被發(fā)現(xiàn)是可數(shù)無(wú)限的。這意味著它們可以與自然數(shù)字一一對(duì)應(yīng)。
自然數(shù)，整數(shù)和理性數(shù)都是無(wú)限的。任何可數(shù)無(wú)限集合的并集或交集也是可數(shù)的。任何數(shù)量的可數(shù)集合的笛卡爾積都是可數(shù)的?？蓴?shù)集合的任何子集也是可數(shù)的。
Uncountable
引入不可解集的最常見(jiàn)方式是考慮實(shí)數(shù)的區(qū)間（0,1）。從這個(gè)事實(shí)來(lái)看，一對(duì)一函數(shù)f（x）=bx+a。這是一個(gè)直接的推論，表明實(shí)數(shù)的任何區(qū)間（a，b）都是不可分割的無(wú)限的。
整組實(shí)數(shù)也是無(wú)法解釋的。顯示這一點(diǎn)的一種方法是使用一對(duì)一切線函數(shù)f（x）=tanx。這個(gè)函數(shù)的域是區(qū)間（-π/2，π/2），一個(gè)不可展開(kāi)的集合，范圍是所有實(shí)數(shù)的集合。
其他不可解釋的集合
基本集合理論的運(yùn)算可以用來(lái)產(chǎn)生更多不可逆無(wú)限集合的例子：
- 如果A是B的子集并且A是不可拆卸的，則B也是如此。這提供了一個(gè)更直接的證據(jù)，證明整個(gè)實(shí)數(shù)集是不可解的。
- 如果a是不可解的，而B是任何集合，那么并集71 A 72 U 73 B 74也是不可解的。如果77 A 78是不可解的，79 B 80是任意集合，那么笛卡爾積81 A 82 x 83 B 84也是不可解的。如果87 A 88是無(wú)限的（甚至是可數(shù)無(wú)限的），那么89 A 90的冪集是不可解的。91
另外兩個(gè)彼此相關(guān)的例子有些令人驚訝。并非實(shí)數(shù)的每個(gè)子集都是不可分割的無(wú)限的（實(shí)際上，合理的數(shù)字形成了也是密集的實(shí)的可數(shù)子集）。某些子集是無(wú)限的。
這些不可分割的無(wú)限子集之一涉及某些類型的十進(jìn)制擴(kuò)展。如果我們選擇兩個(gè)數(shù)字并僅用這兩個(gè)數(shù)字形成每個(gè)可能的小數(shù)展開(kāi)，則得到的無(wú)限集合是不可估計(jì)的。
另一組構(gòu)建起來(lái)更復(fù)雜，也無(wú)法解析。從關(guān)閉間隔[0,1]開(kāi)始。刪除此集合的中間三分之一，得到[0,1/3]U[2/3,1]?，F(xiàn)在刪除集合中每個(gè)剩余部分的中間三分之一。因此（1/9,2/9）和（7/9,8/9）被移除。我們繼續(xù)以這種方式。在刪除所有這些間隔之后保留的點(diǎn)集不是間隔，但是，它是不可分割的無(wú)限。這套叫做Cantor套。
有無(wú)限多的不可解集合，但上面的例子是一些最常見(jiàn)的集合。
