如何計(jì)算期望值

你'在嘉年華會(huì)，你看到一場(chǎng)比賽。為了2美元，你滾動(dòng)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的六邊形模具。如果顯示的數(shù)字是6，你贏(yíng)得10美元，否則，你什么都不獲勝。如果您'重新嘗試獲利，玩游戲是否符合您的興趣？要回答這樣的問(wèn)題，我們需要期望值的概念。

期望值實(shí)際上可以被認(rèn)為是隨機(jī)變量的平均值。這意味著，如果您反復(fù)運(yùn)行概率實(shí)驗(yàn)，跟蹤結(jié)果，則期望值是獲得的所有值的平均值。預(yù)期價(jià)值是你應(yīng)該預(yù)期的在許多機(jī)會(huì)游戲的長(zhǎng)期試驗(yàn)中發(fā)生的事情。

如何計(jì)算期望值

上面提到的嘉年華游戲是一個(gè)離散隨機(jī)變量的例子。變量不是連續(xù)的，每個(gè)結(jié)果都以可以與其他結(jié)果分開(kāi)的數(shù)字呈現(xiàn)給我們。找到結(jié)果x，x。，x，概率p，p。，p，計(jì)算：

xp+xp+。+xp。

對(duì)于上面的游戲，你有5/6的概率沒(méi)有獲勝。這個(gè)結(jié)果的價(jià)值是-2，因?yàn)槟慊?美元玩游戲。六個(gè)有1/6的概率出現(xiàn)，這個(gè)值的結(jié)果是8。為什么8而不是10？再次，我們需要考慮我們支付的2美元，以及10-2=8。

現(xiàn)在將這些值和概率插入期望值公式，**得到：-2（5/6）+8（1/6）=-1/3。這意味著從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，每次玩這個(gè)游戲時(shí)，你應(yīng)該平均損失約33美分。是的，你有時(shí)會(huì)獲勝。但你會(huì)失去更多。

嘉年華賽重訪(fǎng)

現(xiàn)在假設(shè)嘉年華賽已經(jīng)稍微修改了。如果數(shù)字相同，則入場(chǎng)費(fèi)為2美元ber顯示是6，然后你贏(yíng)得12美元，否則，你什么都不獲勝。該游戲的預(yù)期值為-2（5/6）+10（1/6）=0。從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，你會(huì)失去任何錢(qián)，但你會(huì)贏(yíng)得任何。Don'希望在當(dāng)?shù)氐募文耆A會(huì)上看到帶有這些數(shù)字的游戲。如果從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，你會(huì)失去任何錢(qián)，那么嘉年華會(huì)贏(yíng)得't任何。

健身房的預(yù)期價(jià)值

現(xiàn)在轉(zhuǎn)到健身房。以與以前相同的方式，我們可以計(jì)算環(huán)境科普**等機(jī)會(huì)游戲的期望值。在美國(guó)，**輪有38個(gè)編號(hào)槽，從1到36,0和00。1-36中的一半是紅色的，一半是黑色的。0和00都是綠色的。球隨機(jī)落在其中一個(gè)槽中，**放在球?qū)⒙湎碌奈恢谩?/p>

最簡(jiǎn)單的**之一是在紅色上**。在這里，如果你**1美元，球落在輪子上的紅色數(shù)字上，那么你將贏(yíng)得2美元。如果球落在輪子的黑色或綠色空間上，那么你什么都不會(huì)獲勝。像這樣的賭注的預(yù)期價(jià)值是多少？由于有18個(gè)紅色空間，因此有18/38的獲勝概率，凈收益為1美元。失去1美元的初始**的可能性為20/38。**賭注的預(yù)期價(jià)值為1（18/38）+（-1）（20/38）=-2/38，約為5.3美分。這里的房子有一個(gè)輕微的優(yōu)勢(shì)（就像所有的賭博游戲一樣）。

預(yù)期價(jià)值和抽獎(jiǎng)

另一個(gè)例子，考慮抽獎(jiǎng)。雖然數(shù)百萬(wàn)人可以以1美元的價(jià)格贏(yíng)得，但抽獎(jiǎng)游戲的預(yù)期價(jià)值顯示它的構(gòu)建有多不公平。假設(shè)1美元你從1到48中選擇六個(gè)數(shù)字。正確選擇所有六個(gè)數(shù)字的概率是1/12271***。如果你贏(yíng)得100萬(wàn)美元以獲得全部六個(gè)正確，那么這個(gè)抽獎(jiǎng)的預(yù)期價(jià)值是多少？可能的價(jià)值是-1美元的損失和9999999美元的獲勝（我們?cè)俅伪仨毧紤]到比賽的成本，并從威斯康星州減去這一點(diǎn)寧寧斯）。這給了我們一個(gè)期望值：

（-1）（12271511/12271***）+（9999999）（1/12271***）=-.918

所以，如果你要一遍又一遍地進(jìn)行抽獎(jiǎng)，從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，每次玩時(shí)你都會(huì)損失大約92美分-幾乎全部的票價(jià)格。

連續(xù)隨機(jī)變量

以上所有示例都看一個(gè)離散的隨機(jī)變量，但是也可以定義一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量的期望值，在這種情況下我們必須做的就是用一個(gè)積分來(lái)替換我們公式中的求和。

從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看

重要的是要記住，在隨機(jī)過(guò)程的多次試驗(yàn)之后，預(yù)期值是平均值。在短期內(nèi)，隨機(jī)變量的平均值可能與預(yù)期值有很大差異。