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如何證明補(bǔ)體規(guī)則的概率

來(lái)源:教育資源網(wǎng) ? 發(fā)布時(shí)間:2020-12-02 08:01:12 ? 點(diǎn)擊:1787

從概率公理可以推導(dǎo)出幾個(gè)概率定理。這些定理可以用來(lái)計(jì)算我們可能想知道的概率。一個(gè)這樣的結(jié)果被稱(chēng)為補(bǔ)充規(guī)則。該語(yǔ)句允許我們通過(guò)知道補(bǔ)碼AC的概率來(lái)計(jì)算事件A的概率。在陳述補(bǔ)充規(guī)則之后，我們將看到如何證明這個(gè)結(jié)果。

補(bǔ)碼規(guī)則

事件A的補(bǔ)碼用AC表示。A的補(bǔ)碼是通用集中所有元素的集合，或樣本空間S，它們不是集合A的元素。

補(bǔ)碼規(guī)則由以下公式表示：

P（34 A 35 36 C 37）1-P（38 A 39）

在這里，我們看到事件的概率及其補(bǔ)充概率必須總和為1。

補(bǔ)體規(guī)則的證明

為了證明補(bǔ)碼規(guī)則，我們從概率公理開(kāi)始。這些陳述是沒(méi)有證據(jù)的。我們將會(huì)看到，它們可以系統(tǒng)地用來(lái)證明我們關(guān)于事件補(bǔ)充概率的陳述。

  • 概率的第一個(gè)公理是任何事件的概率都是非負(fù)實(shí)數(shù)。
  • 概率的第二個(gè)公理是整個(gè)樣本空間的概率S是一個(gè)。象征性地，我們寫(xiě)P（S）=1。
  • 概率的第三個(gè)公理指出，如果A和B是互斥的（意思是它們有一個(gè)空交集），那么我們將這些事件并集的概率聲明為P（AUB）=P（A）+P（B）。

對(duì)于補(bǔ)碼規(guī)則，我們不需要使用上面列表中的第一個(gè)公理。

幼兒園環(huán)保小知識(shí)

為了證明我們的陳述，我們考慮事件86 A 87和88 AC。從集合論來(lái)看，我們知道這兩套有空交集。這是因?yàn)橐粋€(gè)元素不能同時(shí)在A和A中。由于存在空交集，因此這兩組是互斥的。

兩個(gè)事件A和AC的并集也很重要。這些構(gòu)成了詳盡的事件，這意味著這些事件的結(jié)合是所有樣本空間S。

這些事實(shí)與公理相結(jié)合給了我們方程

1=P（S）=P（AUAC）=P（A）+P（AC）。

第一個(gè)平等是由于第二個(gè)概率公理。第二個(gè)平等是因?yàn)槭录?em>A和AC是詳盡的。第三個(gè)平等是因?yàn)榈谌齻€(gè)概率公理。

上述等式可以重新排列成我們上面提到的形式。我們必須做的就是從方程的兩邊減去A的概率。因此

1 P（150 A 151）+P（152 A 153 C 155）

成為等式

P（AC）=1–P（A）。

當(dāng)然，我們也可以通過(guò)聲明來(lái)表達(dá)這一規(guī)則：

P（A）=1–P（AC）。

所有這三個(gè)等式都是同樣的說(shuō)法。我們從這個(gè)證明中可以看出，只有兩個(gè)公理和一些集合理論才能幫助我們證明關(guān)于概率的新陳述。

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